Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），線段PF₁=4，線段PF₂的垂直平分線與PF₁交于Q點(diǎn)，
（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn) A（-2，0），過點(diǎn)F₂且斜率為k（k≠0）的直線l與Q點(diǎn)的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF₂的斜率為k′．求證：k•k′為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)垂直平分線和橢圓的性質(zhì)可求出Q點(diǎn)的軌跡方程．
（2）先將直線l的方程和橢圓的方程聯(lián)立，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后表示出直線PF₂的斜率，化簡代入，即可得證．

解答： （1）解：已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
線段PF₁=4，線段PF₂的垂直平分線與PF₁交于Q點(diǎn)，
∵PF₁=PQ+QF₁，線段PQ=QF₂，
∴QF₁+QF₂=PF₁=4＞2，
∴Q點(diǎn)是以F₁、F₂的為焦點(diǎn)的橢圓，…（2分）
故所求Q點(diǎn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）證明：設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0），且斜率為k（k≠0）的直線l方程為y=k（x-1），
設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），點(diǎn)F（x₂，y₂），…（5分）
將直線l方程y=k（x-1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…（6分）
∵點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，∴直線l和橢圓都相交，△＞0恒成立，
且x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．…（7分）
直線AE的方程為y=

y1

x1-2

(x-2)，
直線AF的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得點(diǎn)M(3，

y1

x1-2

)，點(diǎn)N(3，

y2

x2-2

)，
∴點(diǎn)P的坐(3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

))…（9分）
直線PF₂的斜率為k/=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)
=

1

4

•

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

．…（11分）
將x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式得，
k/=

1

4

•

2• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3

=-

3

4k

．
∴k•k′為定值-

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，橢圓的基本性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，考查考生的計算能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．