Question

已知函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)， x∈R．
（1）求函數(shù)y的最大值及y取最大值時(shí)x的集合；    
（2）求函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）將函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象作怎樣的變換可得到y(tǒng)=sinx的圖象？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)的特點(diǎn)知當(dāng)

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

， k∈Z時(shí)y取最大值為1，求出x即可得出結(jié)果．
（2）直接根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求單調(diào)區(qū)間．
（3）將y=sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象向右平移

2π

3

個(gè)單位可得到y=sin(

1

2

x)的圖象，再將所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="mkcwgeg" class="MathJye">

1

2

可得到y(tǒng)=sinx的圖象．

解答：解：（1）當(dāng)sin(

1

2

x+

π

3

)=1時(shí)，y取最大值y_max=1，…（1分）
此時(shí)

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

， k∈Z即x=4kπ+

π

3

， k∈Z…（3分）∴y取最大值1時(shí)，x的集合為{x|x=4kπ+

π

3

， k∈Z}…（4分）
（2）令z=

1

2

x+

π

3

，則y=sinz，y=sinz的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π](k∈Z)
由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

， (k∈Z)得4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7

3

π，k∈Z
又z=

1

2

x+

π

3

在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ+

π

3

，4kπ+

7

3

π](k∈Z)…（8分）
（3）將y=sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象向右平移

2π

3

個(gè)單位可得到y=sin(

1

2

x)的圖象，…（10分）
再將所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="2mgcma2" class="MathJye">

1

2

可得到y(tǒng)=sinx的圖象．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了正弦函數(shù)的值域，單調(diào)性以及函數(shù)的圖象變換，對于三角函數(shù)的基本性質(zhì)一定要熟練掌握，這是解題的關(guān)鍵．