Question

（2012•臺州模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x（a＜0）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-

1

2

且關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＞0在正數(shù)范圍內(nèi)至少有一個解，結(jié)合根的判別式列式，不難得到a的取值范圍．
（II）關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b可化為：

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0，設(shè)方程的左邊為g（x），利用導(dǎo)數(shù)討論g（x）的單調(diào)性，得到它在[1，4]上先減再增，并且得到g（2）是極小值，g（1）和g（4）是極大值，由此建立不等式組并解之，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（I）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=-

ax2+2x-1

x

（x＞0）
依題意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax²+2x-1＞0在x＞0時有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax²+2x-1=0至少有一個正根．
再結(jié)合a＜0，得-1＜a＜0…（5分）
（II）a=-

1

2

時，f（x）=-

1

2

x+b即

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0
設(shè)g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，則g'（x）=

(x-2)(x-1)

2x

∴當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）＞0；當(dāng)x∈（1，2）時，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，4）時，g'（x）＞0．
得函數(shù)g（x）在（0，1）和（2，4）上是增函數(shù)．在（1，2）上是減函數(shù)
∴g（x）的極小值為g（2）=ln2-b-2；g（x）的極大值為g（1）=-b-

5

4

，且g（4）=-b-2+2ln2；---（5分）
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
∴

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，解之得：ln2-2＜b≤-

5

4

…（5分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，以及函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)值為一種研究函數(shù)的工具，能完成單調(diào)性的判定和最值的求解方程，同時能結(jié)合常用數(shù)學(xué)思想，來考查同學(xué)們靈活運(yùn)用知識解決問題的能力．