Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-3，0），過(guò)點(diǎn)F₁作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A₁，兩直線AB，A₁B的斜率之積為-

16

25

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知D（m，0）為F₁右側(cè)的一點(diǎn)，連AD，BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)F₁，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，-y₁）．由此利用點(diǎn)差法能求出橢圓．
（2）設(shè)l：y=k（x+3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x+3) x2 25 + y2 16 =1

，得（16+25k²）x²+150k²x+225 k²-400=0．由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)結(jié)合已知條件能示出m=5．

解答： （本題滿(mǎn)分16分）
解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，-y₁）．
所以，k_AB=

y2-y1

x2-x1

，kA1B=

y2+y1

x2+x1

，于是k_AB•kA1B=

y22-y12

x22-x12

，
由

x12 a2 + y12 b2 =1 x22 a2 + y22 b2 =1

，得

x22-x12

a2

+

y22-y12

b2

=0，
所以k_AB•kA1B=-

b2

a2

  …（5分）
所以

b2

a2

=

16

25

，所以

b

a

=

4

5

．
設(shè)b=4k，a=5k，其中k＞0．由c=3，得25k²-16k²=9，所以k=1，
所以，橢圓C：

x2

25

+

y2

16

=1．…（7分）
（2）設(shè)l：y=k（x+3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x+3) x2 25 + y2 16 =1

，消去y，得（16+25k²）x²+150k²x+225 k²-400=0．
所以x1+x2=-

150k2

16+25k2

，  x1x2=

225k2-400

16+25k2

⇒y1y2=k2(x1+3)(x2+3)=-

256k2

16+25k2

．…（10分）
設(shè)M(-

25

3

，y3)，N(-

25

3

，y4)，由M、A、D共線，得y3=

(3m+25)y1

3(m-x1)

，
同理y4=

(3m+25)y2

3(m-x2)

．      …（12分）
又

F1M

=(-

16

3

，y3)，

F1N

=(-

16

3

，y4)，由已知得

F1M

⊥

F1N

⇒

F1M

•

F1N

=0，
得y 3y 4=-

256

9

，而y 3y 4=

(3m+25)2y1y2

9(m-x1)(m-x2)

，即-

256k2

16+25k2

•

(3m+25)2

9(m-x1)(m-x2)

=-

256

9

，
整理得（1+k²）（16m²-400）=0，
所以m=±5，因?yàn)閙＞-3，所以m=5…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．