Question

設(shè)a是實數(shù)，f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R）
（1）證明：不論a為何實數(shù)，f（x）均為增函數(shù)
（2）試確定a的值，使得f（-x）+f（x）=0恒成立．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；
（2）若f（-x）+f（x）=0恒成立，則f（x）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)有 f（0）=0，代入可求a，則f（x）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)有 f（0）=0，代入可求a．

解答： 證明：（1）設(shè)存在任意x₁＜x₂，
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴不論a為何實數(shù)，f（x）均為增函數(shù)．
解：（2）若f（-x）+f（x）=0，則f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=a-1=0
∴a=1，
當(dāng)a=1時，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

滿足f（-x）+f（x）=0恒成立．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明（判斷）函數(shù)單調(diào)性中的簡單應(yīng)用，奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0（0在定義域內(nèi)），屬于基礎(chǔ)試題