Question

已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．求證：++＞a+b+c．

Answer 1

【答案】分析：本小題可用分析法、綜合法或作差比較法證明，注意條件a，b，c不全相等的使用．
1、分析法就是證明，使不等式成立的充分條件成立，要證++＞a+b+c，
只要證＞a+b+c，只要證（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
左邊使用均值不等式，可證出大于右邊．
2、綜合法，不等式左邊變形后直接使用均值不等式．
3、作差比較法，作差--變形--判斷符號．
解答：證明：方法一：（分析法）要證++＞a+b+c，
只要證＞a+b+c．
∵a，b，c＞0，
只要證（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）²+（ac）²≥2abc²，
（ac）²+（ab）²≥2a²bc，（bc）²+（ab）²≥2ab²c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一個等號不成立，三式相加得：
2[（bc）²+（ac）²+（ab）²]＞2abc²+2a²bc+2ab²c，
即（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c）成立．
∴++＞a+b+c成立．
方法二：（綜合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴+≥2=2c，
+≥2=2b，
+≥2=2a，
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等號，
三式相加得++＞a+b+c．
方法三：（作差比較法）++-a-b-c
=
=•＞0（a，b，c不全相等），
即++-a-b-c＞0，
∴++＞a+b+c．
點評：通過用分析法、綜合法或作差比較法證明不等式，體會幾種方法間的區(qū)別與聯(lián)系．