Question

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，

d

=(1，

2

)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：

DA

•

DB

為定值；
（3）對于雙曲線Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y²=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)及它的頂點．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由頂點坐標、漸近線方程及a、b、c 的關系求出a、b的值即得．
（2）設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），當直線l的斜率存在時，設設此直線方程為y=k（x+3），由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0，再由方程的根與系數關系及

DA

•

DB

為定值；當直線l的斜率不存在時，當直線AB垂直于x軸時，其方程為x=-3，A，B的坐標為（-3，4）、（-3，-4），代入可求；
（3）對于過定點問題，可先假設存在，即假設直線MN過定點，再利用設直線MN的方程為：x=my+t，聯立方程組，利用垂直關系求直線MN過定點，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．最后運用類比推理寫出類似結論．

解答：解：（1）設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則a=1，
又

b

a

=

2

，得b=

2

，所以，雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1．
（2）當直線AB垂直于x軸時，其方程為x=-3，A，B的坐標為（-3，4）、（-3，-4），

DA

=(-4，4)，

DB

=(-4，-4)，得

DA

•

DB

=0．
當直線AB不與x軸垂直時，設此直線方程為y=k（x+3），由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

6k2

2-k2

，x1•x2=

-9k2-2

2-k2

，
故

DA

•

DB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)
=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1．
=(k2+1)

-9k2-2

2-k2

+(3k2-1)

6k2

2-k2

+9k²+1=0．綜上，

DA

•

DB

=0為定值．
（3）當M，N滿足EM⊥EN時，取M，N關于x軸的對稱點M'、N'，由對稱性知EM'⊥EN'，此時MN與M'N'所在直線關于x軸對稱，若直線MN過定點，則定點必在x軸上．
設直線MN的方程為：x=my+t，
由

x=my+t b2x2-a2y2=a2b2

，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

-2b2mt

b2m2-a2

，y1y2=

b2(t2-a2)

b2m2-a2

，
由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0，
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)

b2(t2-a2)

b2m2-a2

-m(t-a)

2b2mt

b2m2-a2

+(t-a)2=0，
化簡得，t=

a(a2+b2)

a2-b2

或t=a（舍），
所以，直線MN過定點（

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．
情形一：在雙曲線Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)中，若E'為它的左頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E'），且E'M⊥E'N，則直線MN過定點（-

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．
情形二：在拋物線y²=2px（p＞0）中，若M，N為拋物線上的兩點（都不同于原點O），且OM⊥ON，則直線MN過定點（2p，0）．…..（16分）
情形三：（1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若E為它的右頂點，M，N為橢圓上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，則直線MN過定點（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）；
（2）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若E'為它的左頂點，M，N為橢圓上的兩點（都不同于點E'），且E'M⊥E'N，則直線MN過定點（

a(b2-a2)

a2+b2

，0）；
（3）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若F為它的上頂點，M，N為橢圓上的兩點（都不同于點F），且FM⊥FN，則直線MN過定點（0，

b(b2-a2)

a2+b2

）；        
（4）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若F'為它的下頂點，M，N為橢圓上的兩點（都不同于點F'），且F'M⊥F'N，則直線MN過定點（0，

b(a2-b2)

a2+b2

）．

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，向量的坐標表示的應用，屬于直線與曲線位置關系的綜合應用，屬于綜合性試題．