【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4,且對任意m,n,p,q∈N* , 若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq . (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{ }的前n項和為Sn , 求證: ≤Sn< .
【答案】(Ⅰ)解:令m=1,p=n﹣1,q=2,可得:an+a1=an﹣1+a2 , 即an﹣an﹣1=3.(n≥2). ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為3.
∴an=1+3(n﹣1)=3n﹣2.
(Ⅱ)證明: = = .
∴Sn= + +…+
= < .
另一方面:數(shù)列 單調(diào)遞增,∴Sn≥S1= .
∴ ≤Sn<
【解析】(I)令m=1,p=n﹣1,q=2,可得:an+a1=an﹣1+a2 , 即an﹣an﹣1=3.(n≥2).利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.(II) = = .利用裂項求和方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),直線l:x-2y=0.
(1)求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程;
(2)在直線OA上(O為坐標(biāo)原點),存在定點B(不同于點A),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點B的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知點A(-1,-2),B(1,3),P為x軸上的一點,求|PA|+|PB|的最小值;
(2)已知點A(2,2),B(3,4),P為x軸上一點,求||PB|-|PA||的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在路邊安裝路燈,燈柱的高為米,路寬為23米,燈桿與燈柱角,路燈采用錐形燈罩,燈罩軸線與燈桿垂直,請你建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系,解決以下問題:
(1)當(dāng)
(2)且燈罩軸線正好通過道路路面的中線時,求燈桿的長為多少米?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3 . 若a> ,且當(dāng)x∈[1,4a]時,|f′(x)|≤12a恒成立,則a的取值范圍為( )
A.( , ]
B.( ,1]
C.[﹣ ,1]
D.[0, ]
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【題目】已知拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上存在一點G到焦點的距離為3,且點G在圓C:x2+y2=9上. (Ⅰ)求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)已知橢圓C2: =1(m>n>0)的一個焦點與拋物線C1的焦點重合,且離心率為 .直線l:y=kx﹣4交橢圓C2于A、B兩個不同的點,若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)方程.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線l:θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段AB的中點為M,求|OM|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C上任意一點到的距離與到點 的距離之比均為.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)點,過點作兩條相異直線分別與曲線C相交于兩點,且直線和直線的傾斜角互補,求線段的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)根據(jù)2002﹣2014年期間學(xué)生的興趣愛好,分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團(tuán),據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核遠(yuǎn)拔進(jìn)入這三個社團(tuán)成功與否相互獨立,2015年某新生入學(xué),假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團(tuán)的概率依次為m, ,n,已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為 ,至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為 ,且m>n.
(1)求m與n的值;
(2)該校根據(jù)三個社團(tuán)活動安排情況,對進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修字分1分,對進(jìn)入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分,對進(jìn)入“國學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課字分分?jǐn)?shù)的分布列及期望.
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