Question

{a_n},{b_n}都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的自然數(shù)n，都有a_n、b_n²、a_n+1成等差數(shù)列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比數(shù)列.

(1)試問(wèn){b_n}是否是等差數(shù)列？為什么？

(2)求證：對(duì)任意的自然數(shù)p,q(p＞q),b_p－q²+b_p+q²≥2b_p²成立；

(3)如果a₁=1,b₁=,S_n=，求.

Answer 1

答案：
解析：

是等差數(shù)列；；2 依題意2bn2=an+an+1，　　　　　　　　　　　�、� an+12=bn2·bn+12.　　　　　　　　　　　　　�、� (1)∵an＞0，bn＞0，∴由②式得an+1=bn·bn+1，從而n≥2時(shí)，an=bn－1·bn,代入①2bn2=　　　bn－1bn+bnbn+1, ∴2bn=bn－1+bn+1(n≥2), ∴{bn}是等差數(shù)列. (2)因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，∴bp－q+bp+q=2bp. ∴bp－q2+bp+q2≥. (3)由a1=1,b1=及①②兩式易得a2=3,b2=， ∴{bn}中公差d=， ∴bn=b1+(n－1)d =(n+1), ∴an+1=(n+1)(n+2).　　　　　　　　　　　�、� 又a1=1也適合③,∴an=(n∈N), ∴, ∴Sn=2［1－］ =2(1－), ∴=2.