Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若直線y=3x﹣1是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e2]上的最大值為1﹣ae（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且僅有唯一的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）= =3，

∴x= ，則f（ ）=ln ﹣ ，

∴l(xiāng)n ﹣ = -1，得ln =0，即a=﹣2

（2）解：f′（x）= ，

當(dāng)a≤ 時(shí)，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上為增函數(shù)，

故f（x）的最大值為f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得 （舍）；

當(dāng) ＜a＜1時(shí)，若x∈[1， ]，f′（x）＞0，x∈[ ,2]，f′（x）＜0，

故f（x）在[1，e2]上先增后減，故 ，

f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，

即當(dāng) 時(shí)， ，得 （舍）；

當(dāng) 時(shí)，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a= ；

當(dāng)a≥1時(shí)，故當(dāng)x∈[1，e2]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的減函數(shù)，

故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a= （舍）；

綜上，a=

（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）ln（2x2﹣x﹣3t） （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） （x﹣t），

令g（x）=lnx+ ，則g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），

∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t2（x2﹣x﹣t）=0，

即 ，

作出圖象如圖：由圖可知，實(shí)數(shù)t的取值范圍是t=﹣ 或0＜t＜2．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到x= ，求出f（ ）=ln ﹣ ，代入直線y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類得到函數(shù)在[1，e2]上的單調(diào)性，并進(jìn)一步求出函數(shù)在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）轉(zhuǎn)化為ln（2x2﹣x﹣3t） （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） （x﹣t），構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+ ，則g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到 ，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．