定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且當0＜x＜1時，都有f（x）＞1成立．
（1）判斷并證明f（x）在定義域（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x2+2x）＞4
（1）函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數(shù)．證明如下：
     設0＜x1＜x2，則 0＜
x1
x2
＜1，于是有：f(
x1
x2
)＞1
      f（x1）=f(x2•
x1
x2
)=f（x2）+f(
x1
x2
)-1＞f（x2）+1-1=f（x2）
      即：f（x1）＞f（x2）．
      由函數(shù)的單調(diào)性定義可知：函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數(shù)．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x2+2x）＞4=f（3），又有（1）的結論以及函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），得不等式組：
    
x2+2x＞0
3＞0
x2+2x ＜3
，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數(shù)
          （2）不等式f（x2+2x）＞4的解集為：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　�。�

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