Question

【題目】關(guān)于x方程 ﹣x=lnx有唯一的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】{a|a＜0或a=1}
【解析】解：要使方程有意義，則x＞0，
設(shè)f（x）= ﹣x，g（x）=lnx，
若a＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)，單調(diào)遞減，g（x）=lnx單調(diào)遞增，
此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足方程有唯一解；
若a＞0，要使方程 ﹣x=lnx有唯一的解，
則函數(shù)f（x）與g（x）有相同的切線，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
則f′（x）= ，g′（x）= ，
則滿足 ﹣1= ，
即 ﹣m=1①，
同時(shí) ﹣m=lnm，②
①﹣2×②得m=1﹣2lnm，
即m﹣1=﹣2lnm，
∵y=m﹣1與y=﹣2lnm只有一個(gè)根，
∴解得m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，n=ln1=0，
即切點(diǎn)為（1，0），
則f（x）與g（x）在（1，0）處相切，
即此時(shí)f（1）=0，即a=1，滿足條件．
所以答案是：{a|a＜0或a=1}