Question

橢圓C的焦點分別為F₁（-1，0）F₂（1，0），P（1，

2

2

）是橢圓上的一個點
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設原點為O，斜率為

2

2

的直線l過點F₁且與橢圓C相交于A、B兩點，求△AOB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，解出即可．
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．依題意得直線l的方程為：y=

2

2

(x+1)，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式|AB|=

(1+ 1 2 )[(x1+x2)2-4x1x2]

．
點到直線的距離公式可得原點O到直線l的距離d．再利用S_△AOB=

1

2

d•|AB|即可得出．

解答： 解：（I）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c為半焦距．
可知：c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b²=1，c=1，a²=2．
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依題意得直線l的方程為：y=

2

2

(x+1)，
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y= 2 2 (x+1)

，化為2x²+2x-1=0，
∴x₁+x₂=-1，x1x2=-

1

2

．
∴|AB|=

(1+ 1 2 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2 ×[(-1)2-4×(- 1 2 )]

=

3 2

2

．
原點O到直線l的距離為：d=

| 2 |

( 2 )2+22

=

3

3

．
∴S_△AOB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

3

3

×

3 2

2

=

6

4

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．