Question

如圖，△ABC是邊長為2的正三角形．若AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面CDE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：根據(jù)面面垂直，線面垂直的判定定理從而進行證明．

解答： 證明：（Ⅰ）取BC的中點M，連接DM、AM，
因為BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，
所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC．
又因為平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，
所以AE∥DM，
又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，
所以AE∥平面BCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：AE∥DM，又AE=1，DM=1，
∴四邊形DMAE 是平行四邊形，
∴DE∥AM，
由（Ⅰ）已證AM⊥BC，又∵平面BCD⊥平面ABC，
∴AM⊥平面BCD，
∴DE⊥平面BCD，
又CD?平面BCD，∴DE⊥CD，
∵BD⊥CD，BD∩DE=D，
∴CD⊥平面BDE，∵CD?平面CDE，
∴平面BDE⊥平面CDE．

點評：本題考查了線面垂直，面面垂直的判定定理，是一道中檔題．