Question

已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，如果對角線AC=4，BD=2，那么EG²+HF²的值等于（　�。�

• A、10
• B、15
• C、20
• D、25

Answer 1

分析：依次連接EF、FG、GH、HE，我們根據(jù)中位線定理，易證明EF與GH平行且相等，即四邊形EFGH為平行四邊形，求出鄰邊的長度后，根據(jù)余弦定理即可得到結(jié)論．

解答：解：如下圖所示
依次連接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中點(diǎn)，H是AD中點(diǎn)，
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD=1
同理：
FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD=1
所以，EH∥FG，EH=FG
同理，EF∥HG，EF=HG
所以，四邊形EFGH為邊長為1、2的平行四邊形
設(shè)∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ
在△EHG中，由余弦定理有：
EG²=EH²+HG²-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ
在△EFH中，由余弦定理有：
FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ
上述兩式相加，得到：
EG²+FH²=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故選A

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面之間距離的計(jì)算，在三角形中，求兩點(diǎn)之間的距離，即三角形的邊長，正、余弦定理是最常用的方法．