Question

【題目】已知雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)為
的曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為2 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為 （0＜a2＜4），

將點(diǎn)（3， ）代入上式，得 ．解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求雙曲線方程為 ．

（2）解：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，

∴

∴k∈（﹣ ,-1）∪（1， ）．

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則由①式得x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

于是，|EF|=

=

而原點(diǎn)O到直線l的距離d= ，

∴S△OEF= ．

若S△OEF=2 ，即 ，解得k=± ，

滿(mǎn)足②．故滿(mǎn)足條件的直線l有兩條，其方程分別為y= 和

【解析】（1）根據(jù)題意可得a2+b2=4，得到a和b的關(guān)系，把點(diǎn)（3， ）代入雙曲線方程，求得a，進(jìn)而根據(jù)a2+b2=4求得b，雙曲線方程可得．（2）可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，根據(jù)直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，進(jìn)而可得k的范圍，設(shè)E（x1 ， y1），F(xiàn)（x2 ， y2），根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1+x2和x1x2 ， 進(jìn)而表示出|EF|和原點(diǎn)O到直線l的距離根據(jù)三角形OEF的面積求得k，進(jìn)而可得直線方程．