Question

【題目】已知函數(shù)（），其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， .

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0， 為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)為0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價(jià)于恒成立，分離參數(shù)a，可得恒成立．令g（x）=，則問題等價(jià)于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值得答案．

試題解析：

（1）由題可知， ，則

（�。┊�(dāng)時(shí)， ，函數(shù)為上的減函數(shù)

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，

①若，則，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；

②若，則，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．

（2）由題意，問題等價(jià)于，不等式恒成立，

即， 恒成立，令，則問題等價(jià)于不小于函數(shù)在上的最大值．

由，顯然在上單調(diào)遞減．

令， ，則時(shí)，

所以在上也是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在的最大值為，

故， 恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為