Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=CC₁=1，E為棱C₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證面ADE⊥面BCE；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ADE的體積．

Answer 1

解：（1）∵E為棱C₁D₁的中點，
∴D₁D=D₁E=1，又∵∠DD₁E=90°，
∴∠D₁ED=45°，同理∠C₁EC=45°，∴∠DEC=90°．即DE⊥EC
∵BC⊥面DC₁，
又∵DE?面DC₁，∴BC⊥DE．
∵BC∩CE=C，∴DE⊥面BCE．
∵DE?面ADE，∴面ADE⊥面BCE
（2）三棱錐A₁-ADE可以看做以面AA₁D為底，D₁E為高的三棱錐，
∴
分析：（1）先在矩形DCC₁D₁中，證明DE⊥EC，在利用長方體的性質，證明DE⊥BC，從而利用線面垂直的判定定理證明DE⊥面BCE，最后利用面面垂直的判定定理證明結論即可；
（2）先將三棱錐看做以面AA₁D為底，D₁E為高的三棱錐，再利用棱錐體積計算公式計算其體積即可
點評：本題考查了長方體中的線面關系，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，三棱錐體積的計算公式及計算方法技巧，屬基礎題