Question

設(shè)橢圓（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點(diǎn)A，且．
（1）試求橢圓的方程；
（2）過(guò)F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0），利用，可得F₂為AF₁的中點(diǎn)，從而可得橢圓方程；
（2）分類(lèi)討論：當(dāng)直線DE（或MN）與x軸垂直時(shí)，四邊形DMEN的面積；當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，從而可得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0）
∵
∴F₂為AF₁的中點(diǎn)
∴a²=3，b²=2
∴橢圓方程為…（5分） 
（2）當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|==，此時(shí)|MN|=2a=2，四邊形DMEN的面積．
同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，四邊形DMEN的面積．
當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)DE：y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
所以，|x₁-x₂|=，所以|DE|=|x₁-x₂|=，
同理|MN|=                 …（9分）
所以四邊形的面積=××=
令u=，則S=4-
因?yàn)閡=≥2，當(dāng)k=±1時(shí)，u=2，S=，且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，所以．
綜上可知，．
故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確求弦長(zhǎng)是關(guān)鍵．