設(shè)橢圓+=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－2,0),左準(zhǔn)線l1與x軸交于點(diǎn)N(－3,0),過點(diǎn)N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).

(1)求直線l和橢圓的方程；

(2)求證:點(diǎn)F1(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

 

【答案】

(1)解:可知直線l:y=(x+3).

由c=2及=3,解得a2=6,

∴b2=6－22=2.∴橢圓方程為+=1.

(2)證明:聯(lián)立方程組       

將②代入①,整理得2x2+6x+3=0.

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=－3,x1x2=.

方法一:k·k=·=

===－1,

∴F1A⊥F1B,即∠AF1B=90°.

∴點(diǎn)F1(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

方法二:·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2

=x1x2+2(x1+x2)+4+［x1x2+3(x1+x2)+9］

=x1x2+3(x1+x2)+7=0,

∴F1A⊥F1B,則∠AF1B=90°.

∴點(diǎn)F1(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓的離心率e;

(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).若直線PF2與圓(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.

 

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設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若·+·=8,求k的值.

 

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