Question

若不等式x²+ax+1≥0對一切都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，-2]
C．
D．[-2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：對于不等式的左邊，設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+1，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，]上的最小值大于或等于0．然后通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別在三種情況下討論函數(shù)f（x）的最小值大于或等于零，得到三個符合題意的實數(shù)a的取值，最后綜合可得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：∵不等式x²+ax+1≥0對一切都成立，
∴函數(shù)f（x）=x²+ax+1在區(qū)間（0，]上的最小值大于或等于0
而函數(shù)f（x）=x²+ax+1的圖象是一條開口向上的拋物線，
其對稱軸為x=，下面分三種情況討論函數(shù)的最小值
①當(dāng)x=≤0時，即a≥0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，]上為增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的最小值大于f（0）=1≥0，符合題意．此時a≥0；
②當(dāng)x=∈（0，]時，即-≤a＜0時，
函數(shù)f（x）的最小值為f（）=1-≥0，-2≤a≤2，
∴-≤a＜0；
③當(dāng)x=＞時，即a≤-時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，]上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的最小值f（）=+≥0，可得a≥-
因此-≤a≤-．
綜上所述，得實數(shù)a的取值范圍是：a≥-
故選C
點評：本題借助于一個一元二次不等式恒成立的問題，著重考查了一元二次不等式的應(yīng)用和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值最值等知識點，屬于中檔題．