Question

設(shè)A={1，2，…，10}，若“方程x²-bx-c=0滿足b，c∈A，且方程至少有一根a∈A”，就稱該方程為“漂亮方程”．則“漂亮方程”的總個(gè)數(shù)為

12

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，用十字相乘法，先把c分解因數(shù)，依據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，這兩個(gè)因數(shù)的差就是b，進(jìn)而可以確定方程，再依次分析c等于2、3、…10，分別分析、列舉其“漂亮方程”的個(gè)數(shù)，由加法原理，計(jì)算可得答案．

解答：解：用十字相乘法，先把c分解因數(shù)，依據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，這兩個(gè)因數(shù)的差就是b；
c=2 時(shí)，有2×1=2，b=2-1=1，則漂亮方程為x²-x-2=0；
c=3時(shí)，有3×1=3，b=3-1=2，則漂亮方程為x²-2x-3=0；
c=4時(shí)，有4×1=4，b=4-1=3，則漂亮方程為x²-3x-4=0，4=2×2，不符合集合元素的互異性，故排除；
c=5時(shí)，有5×1=5，b=5-1=4，則漂亮方程為x²-4x-5=0；
c=6時(shí)，有6×1=6，b=6-1=5，則漂亮方程為x²-5x-6=0，
同時(shí)，有2×3=6，b=3-2=1，則漂亮方程為x²-x-6=0；
c=7時(shí)，有7×1=7，b=7-1=6，則漂亮方程為x²-6x-7=0，
c=8時(shí)，有8×1=8，b=8-1=7，則漂亮方程為x²-7x-8=0，
同時(shí)，有2×4=8，b=4-2=2，則漂亮方程為x²-2x-8=0；
c=9時(shí)，有9×1=9，b=9-1=8，則漂亮方程為x²-8x-9=0，9=3×3，不符合集合元素的互異性，故排除；
c=10時(shí)，有10×1=10，b=10-1=9，則漂亮方程為x²-10x-9=0，
同時(shí)，有2×5=10，b=5-2=3，則漂亮方程為x²-3x-10=0；
綜合可得，共12個(gè)漂亮方程，
故答案為12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意分析題意，得到“漂亮方程”的定義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．