已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，滿足f（x-1）=f（x）+x-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)F(x)=-2f(log2x)+4log2x+2，
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≤x≤4，求F（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值時對應(yīng)的x值．
分析：（1）利用二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，滿足f（x-1）=f（x）+x-1，確定關(guān)于a，b的方程組，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用配方法，可求f（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值時對應(yīng)的x值．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，滿足f（x-1）=f（x）+x-1
∴a（x-1）2+bx（x-1）=ax2+bx+x-1
∴ax2-（2a-b）x+a-b=ax2+（b+1）x-1
∴
-(2a-b)=b+1
a-b=-1

∴
a=-
1
2
b=
1
2

∴f（x）=-
1
2
x2+
1
2
x…（4分）
（2）由（1）知F(x)=lo
g
2
2
x+3log2x+2…（6分），
令t=log2x，
則y=t2+3t+2=(t+
3
2
)2-
1
4
，（-2≤t≤2）
∴t=-
3
2
，即log2x=-
3
2
，x=2-
3
2
，亦即x=
2
4
時，F(xiàn)（x）min=-
1
4
                       …（10分）
當(dāng)t=2，即x=4時，F(xiàn)（x）max=12                      …（12分）
點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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