Question

規(guī)定，其中x∈R，m是正整數(shù)，且=1，這是組合數(shù)（n、m是正整數(shù)，且m≤n的一種推廣）.

（1）（文）求的值；

（理）求的值；

（2）（文）設(shè)x＞0，當(dāng)x為何值時(shí)，取最小值？

（理，文2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：

①.  ②.

是否都能推廣到（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，請(qǐng)寫出推廣的形式，并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由.

（3）（理）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，∈Z.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）（文）解：. （理）解：. （2）（文）解：. ∵x＞0，x+≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立. ∴當(dāng)x=時(shí)，取得最小值. （理，文3）解：性質(zhì)①不能推廣.例如當(dāng)x=時(shí)，有定義，但無(wú)意義；性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是，x∈R，m是正整數(shù)，事實(shí)上 當(dāng)m=1時(shí)，有， 當(dāng)m≥2時(shí)， . （3）（理）證明：當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)∈Z. 當(dāng)0≤x＜m時(shí)，=0∈Z. 當(dāng)x＜0時(shí)，∵－x+m－1＞ 0， ∴ ∈Z.