Question

規(guī)定=，其中x∈R，m是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)（n、m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣.

（1）求的值.

（2）設(shè)x＞0，當(dāng)x為何值時(shí)，取最小值？

（3）我們知道組合數(shù)具有如下兩個(gè)性質(zhì)：

①=；②+=.

是否都能推廣到（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，請(qǐng)寫(xiě)出推廣的形式，并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由.

（4）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，∈Z.

 

Answer 1

思路解析：本題是有關(guān)組合數(shù)知識(shí)的延伸，著重考查考生接受新知識(shí)的能力.在解決過(guò)程中，要注意充分利用題目中的C^m_x的定義以及結(jié)合所學(xué)的相關(guān)知識(shí)，從而將問(wèn)題解決.

解：（1）==-680.

（2）==(x+-3)，

∵x＞0，x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立.∴當(dāng)x=時(shí)，取得最小值.

（3）性質(zhì)①不能推廣.例如當(dāng)x=時(shí)，有意義，但無(wú)意義；性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是+=，x∈R，m是正整數(shù)，事實(shí)上

    當(dāng)m=1時(shí)，有+=x+1=，當(dāng)m≥2時(shí)，

C^m_x+C^m-1_x=+=

(+1)== ，

（4）證明：當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)∈Z.

    當(dāng)0≤x＜m時(shí)，=0∈Z，當(dāng)x＜0時(shí)，∵-x+m+1＞0，

∴==(-1)^m，∈Z.