Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為S_n，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和為T_n求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)可(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，解方程求a₁，進而可求通項
（2）由（1）可求s_n，進而可求

1

sn

，然后利用裂項相消法求解數(shù)列的和即可證明

解答：解：（1）數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
∵a₁+1，a₃+1，a₇+1成成等比數(shù)列，
∴(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)      …（3分）
解之得a₁=3，
所以a_n=2n+1…（6分）
（2）證明：由（1）得a_n=2n+1，s_n=n（n+2）
∴

1

sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，…（9分）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

…（13分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的簡單應用，數(shù)列的裂項求和方法的應用在證明不等式中的應用．