Question

3．解下列關(guān)于x的不等式．
（1）x²-（a²+a）x+a³＞0；
（2）ax²-（a+1）x+1＜0．

Answer 1

分析 （1）把不等式化為（x-a）（x-a²）＞0，討論a的取值，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可；
（2）把原不等式化為（x-1）（ax-1）＜0，討論a的取值，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可．

解答 解：（1）原不等式可化為（x-a）（x-a²）＞0，
①當(dāng)a＜0時(shí)，解得x＞a²或x＜a；
②當(dāng)a=0時(shí)，解得x≠0；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得x＞a或x＜a²；
④當(dāng)a=1時(shí)，解得x≠1；
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，解得x＞a²或x＜a；
綜上，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，不等式解集為{x|x＞a²或x＜a}；
當(dāng)a=0時(shí)，不等式解集為{x|x≠0}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式解集為{x|x＞a或x＜a²}；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式解集為{x|x≠1}；
（2）原不等式可化為（x-1）（ax-1）＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式可化為（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
該不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和$\frac{1}{a}$；
若a＞1，則1＞$\frac{1}{a}$，不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
若a=1，則1=$\frac{1}{a}$，不等式化為（x-1）²＜0，解集為∅；
若0＜a＜1，則1＜$\frac{1}{a}$，不等式的解集為{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為-x+1＜0，解集為{x|x＞1}；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＞0，且$\frac{1}{a}$＜1，
解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，是中檔題