Question

已知△ABC中的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若

m

=（cosB，cosC），

n

=（2a+c，b），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）求函數(shù)y=sin²A+sin²C的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）

m

⊥

n

⇒(2a+c)cosB+bcosC=0⇒2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，求出角B的余弦是多少，進而求出角B的大小即可；
（Ⅱ）首先把y=sin²A+sin²C化成一個某個角的正弦值的算式，然后根據(jù)三角函數(shù)的取值范圍，判斷出函數(shù)y=sin²A+sin²C的取值范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）

m

⊥

n

⇒(2a+c)cosB+bcosC=0，
⇒2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
⇒2sinAcosB+sinA=0⇒cosB=-

1

2

⇒B=

2π

3

，
即角B的大小是

2π

3

．
（Ⅱ）y=sin2A+sin2C=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

[cos2A+cos(120°-2A)]
=1-

1

2

(cos2A+cos120°cos2A+sin120°sin2A)
=1-

1

2

(

1

2

cos2A+

3

2

sin2A)
=1-

1

2

sin(2A+30°)0°＜A＜60°⇒30°＜2A+30°＜150°⇒sin(2A+30°)∈(

1

2

，1]
⇒y∈[

1

2

，

3

4

)，
即函數(shù)y=sin²A+sin²C的取值范圍是[

1

2

，

3

4

）．

點評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了三角函數(shù)中恒等變換的運用，屬于中檔題．