Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且?x₁，x₂∈R，總有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求證：f（x）+1是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對?n∈N*，有，，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證函數(shù)f（x）+1是奇函數(shù)，即證明f（-x）+1=-[f（x）+1]．令x₁=x₂=0得f（0）=-1，再令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，移向整理即可．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，，，
得出，裂項后求出S_n，又，利用錯位相消法求出T_n．
（3））由，判斷得出F（n）隨的增大而增大，F(xiàn)（2）為所求的最小值．
解答：解：（1）證明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=-1，再令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1
∴f（-x）+1=-[f（x）+1]，
函數(shù)f（x）+1是奇函數(shù)．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，，，
∴

又，
①
②
由①-②得出

=
計算整理得出得

（3）∵
∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，
∴F（n）的最小值為
點評：本題考查數(shù)列通項公式求解，數(shù)列求和中的裂項法、錯位相消法．考查構(gòu)造、變形、計算、推理論證能力．