Question

已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點，、兩點在橢圓上，且，定點.

（1）求證：當時；

（2）若當時有，求橢圓的方程；

（3）在（2）的橢圓中，當、兩點在橢圓上運動時，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，給出理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）（3）存在，最大值為，直線方程為，或

【解析】

試題分析：（1）設，從而可得各向量的坐標。當時，可得與，與間的關系。將點代入橢圓方程，結合與，與間的關系可得，即（2）當時由（1）知且故可設。根據(jù)和及解方程組可求得的值。（3）根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角形面積公式分析可知。設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去 整理為關于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關系。從而可用表示。用配方法求最值。注意討論直線斜率不存在和斜率為0兩種特殊情況。

（1）設，則，

當時，，

由M，N兩點在橢圓上，

若，則舍，

（2）當時，不妨設

又，

，橢圓C的方程為

（3），

設直線的方程為

聯(lián)立，得，

記 ，

則

，當，即時取等號 ．

并且，當k=0時，

當k不存在時

綜上有最大值，最大值為

此時，直線的方程為，或

考點：1向量的數(shù)量積；2橢圓的簡單幾何性質及方程；3直線與橢圓的位置關系。