Question

（2013•徐匯區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x），并求使得函數(shù)g（x）=f^-1（x）-log₂k有零點的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：對（1）先求函數(shù)的定義域，再利用奇、偶函數(shù)的定義證明即可．
對（2）先求出反函數(shù)，再求反函數(shù)的值域，然后利用函數(shù)思想分析求K的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）的定義域為：（-∞，-1）∪（1，+∞）
∵f（-x）=

log	-x+1 -x-1 2

=

log

x-1 x+1 2

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）由y=

log

x+1 x-1 2

，得x=

2y+1

2y-1

，
∴f^-1（x）=

2x+1

2x-1

，x≠0．
∵函數(shù)g（x）=f^-1（x）-log₂K有零點，
∴l(xiāng)og₂k=

2x+1

2x-1

=1+

2

2x-1

∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
∴k∈（2，+∞）∪（0，

1

2

）．
∴k的取值范圍是（2，+∞）∪（0，

1

2

）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，反函數(shù)的求法及函數(shù)思想的應(yīng)用．