Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（1，-2）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點）的直線l，使得直線OA與l的距離等于

5

5

？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由．
（3）過拋物線C的焦點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設(shè)l₁與拋物線C相交于點M，N，l₂與拋物線C相交于點D，E，求

MD

•

NE

的最小值．

Answer 1

分析：（1）把點（1，-2）代入拋物線方程即可得出；
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，與拋物線方程聯(lián)立，由于直線l與拋物線C有公共點，可得△=4+8t≥0，解得t的取值范圍．利用點到直線的距離可得：直線OA與l的距離d=

5

5

，可得

|t|

5

=

1

5

，解得t．
（3）由題意可知：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線l₁的斜率為k≠0，則l₁的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系；由于l₁⊥l₂，可得直線l₂的斜率為-

1

k

，方程為y=-

1

k

(x-1)，設(shè)D（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．與拋物線方程可得根與系數(shù)的關(guān)系．再利用向量的數(shù)量積運算和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）將（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p×1，解得p=2．
故所求拋物線C的方程為y²=4x，其準(zhǔn)線方程為x=-1．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，
由

y=-2x+t y2=4x

得y²+2y-2t=0．
∵直線l與拋物線C有公共點，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

，
由直線OA與l的距離d=

5

5

，可得

|t|

5

=

1

5

，解得t=±1．
∵-1∉[-

1

2

，+∞)，1∈[-

1

2

，+∞)，
∴符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0．
（3）由題意可知：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設(shè)直線l₁的斜率為k≠0，則l₁的方程為y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率為-

1

k

，方程為y=-

1

k

(x-1)，設(shè)D（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．
聯(lián)立

y=- 1 k (x-1) y2=4x

，化為x²-（2+4k²）x+1=0，
∴x3+x4=2+4k2，x₃x₄=1．
∴

MD

•

NE

=(

MF

+

FD

)•(

NF

+

FE

)
=

MF

•

NF

+

MF

•

FE

+

FD

•

NF

+

FD

•

FE

=|

MF

| |

FN

|+|

EF

| |

FD

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+x₁+x₂+x₃x₄+x₃+x₄+2
=1+2+

4

k2

+1+2+4k²+2
=8+4(k2+

1

k2

)≥8+4×2×

k2• 1 k2

=16，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取等號．
∴當(dāng)k=±1時，

MD

•

NE

的最小值為16．

點評：熟練掌握直線與拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為與拋物線方程聯(lián)立得到一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式數(shù)量積計算公式等是解題的關(guān)鍵．