已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
3
時，求實數(shù)t的取值范圍．
（1）由已知e=
c
a
=
3
2
，所以
c2
a2
=
3
4
，
所以a2=4b2，c2=3b2所以
x2
4b2
+
y2
b2
=1
又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為
2b2
a
=1
所以b=1
所以
x2
4
+y2=1
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
設(shè)AB：y=k（x-3）與橢圓聯(lián)立得
y=k(x-3)
x2
4
+y2=1

整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0得k2＜
1
5
x1+x2=
24k2
1+4k2
，x1•x2=
36k2-4
1+4k2

OA
+
OB
=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)x=
1
t
(x1+x2)=
24k2
t(1+4k2)
y=
1
t
(y1+y2)=
1
t
[k(x1+x2)-6k]=
-6k
t(1+4k2)

由點P在橢圓上得
(24k2)2
t2(1+4k2)2
+
144k2
t2(1+4k2)2
=4，36k2=t2（1+4k2）
又由|
PA
-
PB
|＜
3
，即|BA|＜
3

所以|AB|=
1+k2
|x1-x2|＜
3

所以（1+k2）（x1-x2）2＜3（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]＜3（1+k2）[
242k4
(1+4k2)2
-
4(36k2-4)
1+4k2
]＜3
整理得：（8k2-1）（16k2+13）＞0
所以8k2-1＞0，k2＞
1
8

所以
1
8
＜k2＜
1
5

由36k2=t2（1+4k2）得t2=
36k2
1+4k2
=9-
9
1+4k2

所以3＜t2＜4，所以-2＜t＜-
3
或
3
＜t＜2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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