【題目】如圖,在三棱錐中,,OAC的中點.

1)證明:平面ABC;

2)若點M在棱BC上,且,求點C到平面POM的距離.

3)若點M在棱BC上,且二面角30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)(3)

【解析】

1)由條件, OAC的中點可得,同理,求出的三邊長,利用勾股定理可得,從而可證.

2)由(1)可知,平面平面ABC,作,垂足為H,所以平面POM.所以的長度為點C到平面POM的距離,然后通過解三角形解出即可.

3)以O為坐標原點,,,的分別為x軸,建立空間直角坐標系,平面PAC的一個法向量,設,求出平面PAM的法向量為,由,可求出的值,從而可求出PC與平面PAM所成角的正弦值.

證明:因為,OAC的中點,所以,且

連接OB.因為,

所以為等腰直角三角形,且,

中,,

知,

,知平面ABC

2)解:作,垂足為H

又由(1)可得,所以平面POM

CH的長為點C到平面POM的距離.

由題設可知,

中,,

所以,則,

,

所以

所以點C到平面POM的距離為

3)解:如圖,以O為坐標原點,,,的分別為x,軸,建立空間直角坐標系

由已知得,,,

取平面PAC的一個法向量

在平面內直線的平面直角坐標方程為:,

),則,

設平面PAM的法向量為

,得

可取,

所以

由已知可得,

所以,解得(舍去),

所以

,所以

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為

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