Question

已知拋物線y²=2x，設(shè)點A（a，0）（a＞0），求拋物線上距離點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)距離|PA|．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)拋物線上y²=2x上的點P（m，n），利用兩點間的距離公式可求得|PA|²=（m-a）²+n²=[m+（1-a）]²+2a-1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當(dāng)0＜a＜1和a≥1兩種情況可得滿足條件的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)距離|PA|．

解答： 解：設(shè)拋物線上y²=2x上的點P（m，n）（m≥0），
則|PA|²=（m-a）²+n²=m²-2am+a²+2m=m²-2（a-1）m+a²=[m+（1-a）]²+2a-1，
∴當(dāng)0＜a＜1，即1-a＜0時，
由m≥0得：當(dāng)m=0，|PA|²達到最小值a²，此時點P的坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)a≥1，即1-a≥0時，
當(dāng)m=a-1，|PA|²達到最小值2a-1，此時點P的坐標(biāo)為P（1-a，±

2-2a

）．

點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查點到直線間的距離公式與兩點間的距離公式，屬于中檔題．