如圖，棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝3，AB＝4，Q為棱PD上一點(diǎn)，且．

(Ⅰ)求二面角Q－AC－D的余弦值；

(Ⅱ)求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)在棱取三等分點(diǎn)，使，則，⊥平面，

　　⊥平面，過點(diǎn)作于，連結(jié)，

　　則，為所求二面角的平面角.

　　在中，，

　　，

　　所以，二面角的余弦值為

　　(Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1369/0020/1f3a779fe8426363822b0456299150a4/C/Image72.gif" width=66 height=18>，所以點(diǎn)到平面的距離等于

　　到平面的距離，⊥平面，

　　過點(diǎn)作于，連結(jié)，則，

　　⊥平面，過點(diǎn)作于，

　　則，為所求距離，

　　

　　所以，求點(diǎn)到平面的距離為

　　解法二：

　　證：(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

　　則A(0，0，0)、D(0，3，0)、P(0，0，3)、

　　B(4，0，0)、C(4，3，0)，有已知得，

　　得.

　　設(shè)平面QAC的法向量為，則，

　　即，∴，

　　令，得到平面QAC的一個(gè)法向量為

　　∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.

　　設(shè)二面角P－CD－B的大小為q ，依題意可得，

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得

　　設(shè)平面PBD的法向量為，則，

　　即，∴令，得到平面QAC的一個(gè)為法向量為

　　∵，

　　∴C到面PBD的距離為


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=
3
AC=2
3
，PB=3
2
，且PB與平面ABC所成的角為45°，求二面角P-BC-A的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D為PA的中點(diǎn)，二面角P-AC-B為120°，PC=2，AB=2
3
．
（Ⅰ）求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD與底面ABC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖三棱錐P-ABC中，△PAC，△ABC是等邊三角形．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-B的大小為45°，求PA與平面ABC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2004全國(guó)各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型：013

三棱錐P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝，M，N分別在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，試問下面的四個(gè)圖像中哪個(gè)圖像大致描繪了三棱錐N－AMC的體積V與x的變化關(guān)系(x∈(0，3])(如圖)

[　　]

A．
B．
C．
D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：湖北省荊州中學(xué)2008高考復(fù)習(xí)立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)二(有詳細(xì)答案)人教版 人教版 題型：044

如圖三棱錐P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱錐P－ABC的體積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案