如圖，棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝3，AB＝4，Q為棱PD上一點，且．

(Ⅰ)求二面角Q－AC－D的余弦值；

(Ⅱ)求點C到平面PBD的距離．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)在棱取三等分點，使，則，⊥平面，

　　⊥平面，過點作于，連結，

　　則，為所求二面角的平面角.

　　在中，，

　　，

　　所以，二面角的余弦值為

　　(Ⅱ)因為，所以點到平面的距離等于

　　到平面的距離，⊥平面，

　　過點作于，連結，則，

　　⊥平面，過點作于，

　　則，為所求距離，

　　

　　所以，求點到平面的距離為

　　解法二：

　　證：(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標系，

　　則A(0，0，0)、D(0，3，0)、P(0，0，3)、

　　B(4，0，0)、C(4，3，0)，有已知得，

　　得.

　　設平面QAC的法向量為，則，

　　即，∴，

　　令，得到平面QAC的一個法向量為

　　∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.

　　設二面角P－CD－B的大小為q ，依題意可得，

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得

　　設平面PBD的法向量為，則，

　　即，∴令，得到平面QAC的一個為法向量為

　　∵，

　　∴C到面PBD的距離為


練習冊系列答案
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3
AC=2
3
，PB=3
2
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3
．
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[　　]

A．
B．
C．
D．

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