Question

如圖三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D為PA的中點(diǎn)，二面角P-AC-B為120°，PC=2，AB=2

3

．
（Ⅰ）求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD與底面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)E，連DE、BE，證明AC⊥平面DEB，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）求得∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，過(guò)D作平面ABC的垂線(xiàn)DF，垂足F必在直線(xiàn)BE延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠DBE即為BD與底面ABC所成的角，求出BD，利用正弦定理，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：取AC中點(diǎn)E，連DE、BE，
則DE∥PC，PC⊥AC
∴DE⊥AC …（2分）
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由線(xiàn)面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB，又BD?平面BED
∴AC⊥BD                             …（5分）  
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，∴∠DEB=120°
又AB=2

3

其中線(xiàn) BE=

3

2

AB=3DE=

1

2

PC=1
∵AC⊥平面BDE，AC?平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交線(xiàn)為BE，…（7分）
過(guò)D作平面ABC的垂線(xiàn)DF，垂足F必在直線(xiàn)BE上  
又∠DEB=120°，∴設(shè)F在BE延長(zhǎng)線(xiàn)上，則∠DBE即為BD與底面ABC所成的角         …（9分）
又△DEB中 DB²=DE²+BE²-2BE•DEcos120°=13，∴BD=

13

由正弦定理：

DE

sin∠DBE

=

13

sin120°

，
∴sin∠DBE=

39

26

，即BD與底面ABC所成的角的正弦值為

39

26

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直，考查線(xiàn)面角，正確運(yùn)用線(xiàn)面垂直的判定定理，作出線(xiàn)面角是關(guān)鍵．