Question

本題滿分15分）已知函數(shù)（a-b）<b)。

（I）當(dāng)a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程。

（II）設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點，且，

證明：存在實數(shù)，使得 按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求

Answer 1

解析：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識。

(Ⅰ)解：當(dāng)a=1,b=2時，

因為f’(x)=(x-1)(3x-5)

故f’(2)=1

f(2)=0,

所以f(x)在點（2,0）處的切線方程為y=x-2

（Ⅱ）證明：因為f′（x）＝3（x－a）（x－），

       由于a<b.

       故a<.

       所以f（x）的兩個極值點為x＝a，x＝.[

       不妨設(shè)x₁＝a，x₂＝，

       因為x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零點，

       故x₃＝b.

       又因為－a＝2（b－），

       x₄＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差數(shù)列，

所以存在實數(shù)x₄滿足題意，且x₄＝.