Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B=60°，
（1）若a=（

3

-1）c，求角A的大小；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積的公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a=（

3

-1）c，∴sinA=(

3

-1)sinC，
∵B=60°，∴C=120°-A．
∴sinA=(

3

-1)sin(120°-A)=(

3

-1)(

3

2

cosA+

1

2

sinA)，
化為sinA=cosA，∴tanA=1，A∈（0°，120°）．
∴A=45°．
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．
∴S_△ABC=

1

2

acsin60°≤

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
∴△ABC面積的最大值為

3

4

．

點評：本題考查了正弦定理、兩角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積的公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．