Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥平面ABB1A1 ．

（1）證明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D是矩形AA1的中點，∴AD= AA1=

∴ = ，∴△DAB∽△ABB1，∴∠ABD=∠AB1B，

∵∠BAB1+∠AB1B=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，∴BD⊥AB1．

∵CO⊥平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，

∴CO⊥AB1，又CO平面BCD，BD平面BCD，CO∩BD=O，

∴AB1⊥平面BCD，∵CD平面BCD，

∴CD⊥AB1

（2）解：以O(shè)為原點，以O(shè)D，OB1，OC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），D（ ，0，0）．

∴ =（ ，0，﹣ ）， =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）．

設(shè)平面ABC的法向量為 =（x，y，z），則 ，

即 ，令x=1得 =（1， ，﹣ ）．

∴ = ，∴cos＜ ＞= = ．

∴直線CD與平面ABC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直，再由線線垂直得到線面垂直進(jìn)而得到線線垂直。（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，求出各個點的坐標(biāo)進(jìn)而得到各個向量的坐標(biāo)，找到平面ABC的法向量繼而求出其與向量AD的數(shù)量積再根據(jù)數(shù)量積公式求出cos的值，進(jìn)而可得直線CD與平面ABC所成角的正弦值。
【考點精析】通過靈活運用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和空間角的異面直線所成的角，掌握兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．