Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+a_n+1=2n+1（n∈N^*），求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是a₁=1．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)等差數(shù)列的定義以及充要條件的定義進(jìn)行證明即可．

解答： 解：充分性：∵a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+a_n+1=n+1+n，
即a_n+1-（n+1）=-（a_n-n），
若a₁=1，則a₂-（1+1）=-（a₁-1）=0，
∴a₂=2，以此類推得到a_n=n，
此時(shí){a_n}為等差數(shù)列．
必要性：
∵a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+2+a_n+1=2n+3，
兩式相減得a_n+2-a_n=2，
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則a_n+2-a_n=2d，
即2d=2，∴d=1．
則a_n+a_n+1=2a_n+1=2n+1，
∴a_n=n，即a₁=1成立．
綜上數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是a₁=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義以及充要條件的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．