已知a、b、c分別為△ABC內角A、B、C的對邊,ccosA=b
(I)求角C的大小,
(II)求sinA+sinB的取值范圍.
【答案】
分析:(I)利用正弦定理化簡已知的等式,再由三角形的內角和定理及誘導公式得到sinB=sin(A+C),代入化簡后的等式,根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,整理后得到sinAcosC=0,由A為三角形的內角,得到sinA不為0,可得cosC為0,進而利用特殊角的三角函數(shù)值可得C為直角;
(II)由C為直角,可得A與B互余,可得sinB=cosA,代入所求的式子中,提取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/0.png)
,利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)A為銳角,得到這個角的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質可得此時正弦函數(shù)的值域,進而確定出所求式子的范圍.
解答:解:(I)由正弦定理
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=
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=2R得:c=2RsinC,b=2RsinB,
∴ccosA=b變形為:2RsinCcosA=2RsinB,即sinCcosA=sinB,
又sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
即sinAcosC=0,
又A和C為三角形的內角,
∴A≠0,即sinA≠0,
∴cosC=0,
則C=
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;
(II)∵C=
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,∴A+B=
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,
∴B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/6.png)
-A,
則sinA+sinB
=sinA+sin(
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-A)
=sinA+cosA
=
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sin(A+
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),
∵A∈(0,
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),∴A+
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∈(
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,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/13.png)
),
∴sin(A+
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)∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/15.png)
,1],
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/16.png)
sin(A+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/17.png)
)∈(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/18.png)
],即sinA+sinB∈(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911014_DA/19.png)
].
點評:此題屬于解三角形的題型,涉及的知識有:正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,誘導公式,正弦函數(shù)的定義域和值域,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵.