Question

過點(diǎn)P（2，0）的動(dòng)直線l與圓C：x²+y²-6x-2y+5=0交于P₁，P₂兩點(diǎn)，過點(diǎn)P₁，P₂分別作圓C的切線l₁，l₂，若l₁與l₂交于點(diǎn)M，則CM的最小值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先設(shè)M的坐標(biāo)，則以CM為直徑的圓的方程可以表示，進(jìn)一步得兩圓公共弦的方程，再將P的坐標(biāo)代入得出點(diǎn)M所在直線的方程．

解答： 解：設(shè)M（x₀，y₀），圓C的圓心C（3，1），
則MC為直徑的圓C₁的方程為（x-x₀）（x-3）+（y-y₀）（y-1）=0，
即x²+y²-（x₀+3）x-（y₀+1）y+3x₀+y₀=0，
由平面幾何的知識(shí)知直線P₁P₂的方程為圓C與圓C₁的公共弦所在直線方程，
從而把圓C、圓C₁的方程相減得直線P₁P₂的方程為（x₀-3）x+（y₀-1）y+5-3x₀-y₀=0，
∵P（2，0）在直線P₁P₂上，代入得x₀+y₀+1=0
∴點(diǎn)M在直線x+y+1=0上，
則CM的最小值為圓心C到直線x+y+1=0的距離，∴d=

|3+1+1|

12+12

=

5 2

2

故答案為：

5 2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的方程之間的關(guān)系，利用已知條件表示待求的結(jié)論，屬于中檔題．