Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，則

1

a

+

4

b

 的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：先求出圓心和半徑，由圓心到直線的距離等于零可得可得直線經(jīng)過(guò)圓心，可得a+b=1，再根據(jù)

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

 ）（a+b），利用基本不等式求得

1

a

+

4

b

 的最小值．

解答： 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0，即圓（x+1）²+（y-2）² =4，表示以（-1，2）為圓心、半徑等于2的圓．
設(shè)弦心距為d，由題意可得 2²+d²=4，求得d=0，可得直線經(jīng)過(guò)圓心，故有-2a-2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

 ）（a+b）=5+

4a

b

+

b

a

≥5+4

4

=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

4a

b

=

b

a

時(shí)，取等號(hào)，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式、基本不等式，難點(diǎn)在于對(duì)“直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)圓心O（-1，2），”的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．