Question

在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點O．
（1）求動點P的軌跡W的方程；
（2）過點E（0，-4）的直線l與軌跡W交于兩點A，B，點A關(guān)于y軸的對稱點為A^′，試判斷直線A^′B是否恒過一定點，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經(jīng)過原點O，可知OP⊥OM，所以，即（x，y）•（x，-4）=0，化簡可得動點P的軌跡W的方程；
（2）直線l與軌跡W的方程聯(lián)立，進而可求直線A^′B的方程，由此，可判斷是否恒過一定點
解答：解：（1）由題意可得OP⊥OM，所以，即（x，y）•（x，-4）=0
即x²-4y=0，即動點P的軌跡w的方程為x²=4y
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（-x₁，y₁）．
由消y整理得x²-4kx+16=0
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=16
直線
∴
∴
即，所以，直線A′B恒過定點（0，4）．
點評：本題以軌跡為載體，考查曲線方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，同時考查直線恒過定點問題，有一定的綜合性．