已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線的方程為

   （I）求拋物線S的方程；

   （II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足.試說明動直線PQ是否過定點(diǎn).

解：(I) 設(shè)拋物線S的方程為   顯然                             

由 可得                                

由，有，或

設(shè)則

                  

設(shè)，由的重心為則，

∵點(diǎn)A在拋物線S上，∴  ∴                           

∴拋物線S的方程為                                                       

   （II）當(dāng)動直線的斜率存在時，設(shè)動直線方程為，顯然  

設(shè)，∵，∴

∴ ∴                                         

將代入拋物線方程，得∴

從而∴

∵，∴∴動直線方程為，

此時動直線PQ過定點(diǎn)                                           

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，顯然軸，又，

∴△POQ為等腰直角三角形.

由 得到，此時直線PQ亦過點(diǎn).

綜上所述，動直線PQ過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

(1)求拋物線S的方程;

(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q是拋物線S上的兩個動點(diǎn),且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年湖北省武漢市華中師大一附中高三五月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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