Question

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

(1)求拋物線S的方程;

(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q是拋物線S上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足OP⊥OQ.試說(shuō)明動(dòng)直線PQ是否過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

解:(1)設(shè)拋物線S的方程為y²=2px..

由可得2y²+py-20p=0..

由Δ＞0,有p＞0,或p＜-160.設(shè)B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),則y₁+y₂=,

∴x₁+x₂=(5)+(5)=10=10+..

設(shè)A(x₃,y₃),由△ABC的重心為F(,0),則=,=0,

∴x₃=-10,y₃=.∵點(diǎn)A在拋物線S上,∴()²=2p(-10).∴p=8..

∴拋物線S的方程為y²=16x..

(2)當(dāng)動(dòng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0,.

設(shè)P(x_P,y_P),Q(x_Q,y_Q),∵OP⊥OQ,∴k_OP·k_OQ=-1.∴·=-1.

∴x_Px_Q+y Py_Q=0.

將y=kx+b代入拋物線方程,得ky²-16y+16b=0,

∴y_Py_Q=.從而x_Px_Q==,∴+=0.

∵k≠0,b≠0,∴b=-16k.

∴動(dòng)直線方程為y=kx-16k=k(x-16).此時(shí)動(dòng)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(16,0).

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),顯然PQ⊥x軸,又OP⊥OQ,∴△POQ為等腰直角三角形.

由得到P(16,16),Q(16,-16).

此時(shí)直線PQ亦過(guò)點(diǎn)(16,0).

綜上所述,動(dòng)直線PQ過(guò)定點(diǎn)M(16,0).