Question

設(shè)點(diǎn)A（3，

5

2

），B（4，

3

），C（-3，-

5

2

），D（5，0），其中三點(diǎn)在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）上，另一點(diǎn)在直線l上．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)直線l的斜率存在且為k，它與雙曲線的同一支分別交于兩點(diǎn)E、F（F點(diǎn)在上方，E點(diǎn)在下方），M、N分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求滿足條件S_△MDF=4S_△DNE的k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，能求出雙曲線方程．
（2）由題設(shè)直線l的方程為y=k（x-5），聯(lián)立

y=k(x-5) x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²+40k²x-100k²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出滿足條件S_△MDF=4S_△DNE的k的值．

解答： 解：（1）由題知點(diǎn)A、B、C在雙曲上，
將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，
得

9 a2 - 5 4b2 =1 16 a2 - 3 b2 =1

，解得a²=4，b²=1，
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．
（2）由題設(shè)直線l的方程為y=k（x-5），由題意知k2＞

1

4

，
由（1）知M（-2，0），N（2，0），設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），且y₁＜0，y₂＞0，
聯(lián)立方程組

y=k(x-5) x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²+40k²x-100k²-4=0，
∴x1+x2=-

40k2

1-4k2

，x1x2=-

100k2+4

1-4k2

，①
∵S_△MDF=

1

2

×4×|y2|=2y1，(y2＞0)
S△DNE=

1

2

×3×|y1|=-

3

2

y1，（y₁＜0），
由條件S_△MDF=4S_△DNE，得2y2=4×(-

3

2

y1)，
∴y₂=-3y₁，
∴k（x₂-5）=-3k（x₁-5），
∴x₂=-3x₁+20，②
將②代入①，得x1-3x1+20=-

40k2

1-4k2

，
解得x1=

10-20k2

1-4k2

，∴x2=

-10-20k2

1-4k2

，
將x₁，x₂的值代入x1x2=-

100k2+4

1-4k2

，
得

10-20k2

1-4k2

•

-10-20k2

1-4k2

=-

100k2+4

1-4k2

，
解得k2=

8

7

，滿足條件k2＞

1

4

，
∴k=±

2 14

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)k的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．