Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：x2+y2=16和圓C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，
（1）求過點（4，6）的圓C1的切線方程；
（2）設P為坐標平面上的點，且滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2 ， 它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長是直線l2被圓C2截得的弦長的2倍．試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：若切線的斜率存在，可設切線的方程為y﹣6=k（x﹣4），

則圓心C1到切線的距離 ，解得 ，

所以切線的方程為：5x﹣12y+52=0；

若切線的斜率不存在，則切線方程為x=4，符合題意．

綜上所述，過P點的圓C1的切線方程為5x﹣12y+52=0或x=4

（2）解：設點P（a，b）滿足條件，不妨設直線l1的方程為：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0），

即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0），

則直線l2的方程為： ，即x+ky﹣bk﹣a=0．

因為圓C1的半徑是圓C2的半徑的2倍，

及直線l1被圓C1截得的弦長是直線l2被圓C2截得的弦長的2倍，

所以圓C1的圓心到直線l1的距離是圓C2的圓心到直線l2的距離的2倍，

即

整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|

從而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k，

即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14，

因為k的取值有無窮多個，所以 或 ，

解得 或 ，這樣點P只可能是點P1（4，6）或點 ．

經檢驗點P1和點P2滿足題目條件

【解析】（1）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，求出k，即可求過點（4，6）的圓C1的切線方程；（2）設出過P點的直線l1與l2的點斜式方程，根據⊙C1和⊙C2的半徑，及直線l1被圓C1截得的弦長是直線l2被圓C2截得的弦長的2，可得⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離2倍，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，即可以求所有滿足條件的點P的坐標．