Question

（2009•泰安一模）已知

a

=（2，cosx），

b

=（sin（x+

π

6

），-2），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）=

6

5

，求cos（2x-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（x-

π

6

），令-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求得x的范圍，即可得到
f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由（1）可得f（x）=

6

5

即 sin（x-

π

6

）=

3

5

，利用二倍角的余弦公式可得cos（2x-

π

3

）=1-2sin2(x-

π

6

)，運算求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•

b

=2sin(x+

π

6

)-2cosx=2sinxcos

π

6

+2cosxsin

π

6

-2cosx 
=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

） …（5分）
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，得，-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ． …（7分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+2kπ ，  

2π

3

+2kπ]，k∈z．…（8分）
（2）由（1）可得f（x）=

6

5

即 sin（x-

π

6

）=

3

5

．…（10分）
∴cos（2x-

π

3

）=1-2sin2(x-

π

6

)=

7

25

．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．